Fallen bei der Termumformung

Hallo liebe Leser!

Heute soll es um ein (eigentlich) eher einfaches Thema gehen, bei dem einige Schüler immer wieder Probleme haben:

die Termumformung.

Anstatt hier alle Gesetze, welche man anwenden könnte aufzulisten, möchte ich auf ein par Fallen eingehen, die hier und da für Verwirrung sorgen. Auf geht's! Im Folgenden sei $x,y \in \mathbb{R}$.  

Beispiel 1:

 \[ x^2 = x \]

Hier sollte man nicht durch $x$ teilen, da wir $x=0$ nicht ausgeschlossen haben. Besser $-x$ rechnen:

\[ x^2 = x \Leftrightarrow x^2-x=0 \Leftrightarrow x(x-1)=0  \]

Also ist die Lösung $0$ oder $1$.

Beispiel 2:

Das Ausklammern wird in der Regel unterschätzt und/oder vergessen, dabei macht es Vieles einfacher:

\[ x^4-x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x^2-1) = 0 \]

Es muss nun $x^2=0$ oder $(x^2-1)=0$ gelten, damit die Gleichung stimmt.
Daher sind die Lösungen: $x=0$ oder $x=1$

Beispiel 3:

Brüche sind bei den meisten Schülern unbeliebt, warum eigentlich? ;)

\[ \frac{x^4-x^2}{x^2-1} = 0\]

Jetzt bitte nicht auf die Idee kommen $x^2$ kürzen zu wollen!
Auch wenn es etwas fies klingt, stimmt der alte Spruch "In Summen kürzen nur die Dummen".
Den Zähler des Bruches kennen wir bereits aus dem Beispiel 2.

\[ \frac{x^2(x^2-1)}{x^2-1}=0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0 \]

Man beachte, dass im Zähler nun ein Produkt steht, weshalb wir mit $x^2-1$ kürzen können.

Beispiel 4:

Potenzregeln sind eine feine Sache.

\[ \frac{(x^3x^4x^5)^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow \frac{(x^{3+4+5})^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow \frac{(x^{12})^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow
\frac{x^6}{x^4}=4 \Leftrightarrow
x^{6-4}=4 \Leftrightarrow
x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \]

Erläuterung:
Im ersten Schritt gehen wir getreu nach dem Motto vor:
"Potenzen multiplizieren, heißt Exponenten addieren", natürlich nur wenn alle die gleiche Basis haben. Danach haben wir im Zähler $x^{12}$ hoch $\frac{1}{6}$ stehen. Wir potenzieren also eine Potenz, d.h. wir multiplizieren die Exponenten. Dann heißt es kürzen und das Ergebnis steht schon da.

Beispiel 5:

 Etwas Ähnliches wie kürzen in Summen begegnet uns bei Wurzeln.
Während $\sqrt{x^2y^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=xy$ ist gilt dies nicht mehr, wenn unter der Wurzel eine Summe steht. Daher versucht man irgendwie ein Produkt unter die Wurzel zu bekommen:
\[ \sqrt{x^4-x^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2(x^2-1)} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}=0 \Leftrightarrow x\sqrt{x^2-1}=0 \]

Was ist jetzt die Lösung? $x=1$, weil für $x=1$ steht dort $1\cdot \sqrt{0} = 0$.
Aber was ist mit $x=0$ ? Das ist keine Lösung, weil die Gleichung für $x=0$ nicht definiert ist: $x=0 \Rightarrow 0\cdot \sqrt{0-1}$. Wurzeln aus negativen Zahlen sind (i.d.R.) in der Schule verboten.


So long,

quis

Ableitungsregeln Teil 1

Heute nähern wir uns einem essentiellen Thema für alle Schüler an:

Dem Berechnen von Ableitungen.

In diesem ersten Teil, soll es um die einfachsten Regeln gehen. Ich möchte Beispiele geben, weshalb ich auf eine großartige Einführung und Motivation mit geschichtlichem Abriss usw. verzichte, und mehr den "Anwendungsaspekt" in den Vordergrund rücke. Soll heißen, kurze Erklärung, dafür Beispiele. Ich gehe davon aus, dass die Ableitungen von essentiellen Funktionen bekannt sind. Falls hier Bedarf besteht, insbesondere mit Herleitungen, einfach in die Kommentare posten.

Auf geht's!
Im folgenden seien $f$ und $g$ [differenzierbare] Funktionen auf den reellen Zahlen.

Die Summenregel

Die Summenregel ist wohl die einfachste aller Ableitungsregeln:

\[ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \]

Man leitet die Summanden einfach einzeln ab.

Beispiele:

$(x^2+3x^3)'=2x+9x^2$

$(sin(x)+cos(x))'=cos(x)-sin(x)$

$(e^x+\sqrt{x})'=e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(x^n+ln(x))'=nx^{n-1}+\frac{1}{x}$

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})'=\frac{-1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$

Das Ganze ist sehr einfach, die Schwierigkeit hier besteht eher im Bestimmen der einzelnen Ableitungen selbst, als dem Anwenden der Regel. Viele Schüler haben Probleme mit dem Ableitungen von Funktionen der Art: $\frac{1}{x^n}$. Tipp: Erinnert euch an die Potenzregeln:

\[(\frac{1}{x^n})'=(x^{-n})'=(-n)x^{-n-1}\]

Die Produktregel

Die Produktregel sieht schon etwas komplexer aus:

\[(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

Sie sieht aber auch nur komplexer aus, man leitet einfach pro Summand eine der Funktionen ab und lässt die Andere stehen.

Beispiele:

$(x^2\cdot 3x^3)'=2x\cdot3x^3+x^2\cdot 9x^2=6x^4+9x^4=15x^4$

$(sin(x)\cdot cos(x))'=-sin(x)sin(x)+cos(x)cos(x)=cos^2(x)-sin^2(x)$

$(e^x\cdot \sqrt{x})'=e^x\cdot \sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$

$(x^n\cdot ln(x))'=nx^{n-1}\cdot ln(x)+\frac{1}{x}\cdot x^n=nx^{n-1}\cdot ln(x)+x^{n-1}$

$(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2})'=(\frac{1}{x^3})'=\frac{-3}{x^4}$

So das war's erstmal für Teil 1. In der Fortsetzung gibt es dann weitere Regeln. Ich empfehle die Beispiele in Ruhe durch zulesen und dann ohne auf die Lösung zu gucken, nachzurechnen.

Viel Erfolg!

Grüße

einfache Kurvendiskussion

In meinem ersten Post soll es um ein Standardthema gehen, mit welchem viele Schüler Probleme haben:

Die Kurvendiskussion.

Also legen wir los.

Aufgabe:
Es sei $f(x)=7x^3+2x^2+2$. Machen Sie eine vollständige Kurvendiskussion.

Lösung:

Zur Kurvendiskussion zählen folgende Punkte(je nach Stand, auch weniger):

• Definitions- und Wertebereich
• Symmetrie (zum Koordinatenursprung)
• Extrem- und Wendestellen
• Verhalten im Unendlichen

Definitions- und Wertebereich

Der Definitionsbereich ist die Menge an reellen Zahlen, die wir in die Funktion (sinnvoll) einsetzen können.
In unserem Fall können wir alle reellen Zahlen einsetzen, und es kommt immer etwas Sinnvolles raus, d.h. eine reelle Zahl. Also ist der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$.

Anderes Beispiel: In die Funktion $g(x)=\frac{1}{x}$, kann z.B. die $0$ nicht eingesetzt werden, da man sonst durch diese teilen würde. In dem Fall wäre der Definitionbereich $\mathbb{R}-\{0\}$, d.h. alle reellen Zahlen ohne die Null.

Der Wertebereich der Funktion sind alle Zahlen, die die auswirft (auch $y$-Werte genannt). In unserem Fall wieder ganz $\mathbb{R}$.

Symmetrie

Es gibt hier zwei Arten von Symmetrie: die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie.

Achsensymmetrie
Für das Vorliegen von Achsensymmetrie muss folgende Bedingung erfüllt sein:
\[ f(-x)=f(x) \]
Testen wir also, was bei unserer Funktion passiert, wenn wir $-x$ einsetzen!
\[f(-x)=7(-x)^3+2(-x)^2+2=-7x^3+2x^2+2\neq f(x)\]
Sodaß wir hier keine Achsensymmetrie vorliegen haben.

Punktsymmetrie
Auch für das Vorliegen von Punktsymmetrie gibt es eine Bedingung:
\[f(-x)=-f(x)\]
$f(-x)$ haben wir weiter oben schon ausgerechnet, jetzt müssen wir nur wissen was $-f(x)$ ist:
\[-f(x)=-(7x^3+2x^2+2)=-7x^3-2x^2-2\neq f(-x) \]
Also haben wir auch keine Punktsymmetrie.

Extrem- und Wendestellen

Damit eine Extremstelle an $x$ vorliegt müssen folgende Bedingen erfüllt sein:

\[ f'(x)=0 \text{ und } f''(x)\neq 0 \]

Die so gefundene Extremstelle heißt Maximum, falls $f''(x)<0$ und Minimum, falls $f''(x)>0$.

An $x$ liegt eine Wendestelle vor, wenn gilt:
\[ f''(x)=0 \text{ und } f'''(x)\neq 0 \]

Auf geht's! Berechnen wir zuerst die Ableitungen:
\[ f'(x)=21x^2+4x \text{ ; } f''(x)=42x+4 \text{ ; } f'''(x)=42 \]
Für die Extremstellen brauchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung:
\[ 21x^2+4x=0 \Leftrightarrow x^2+\frac{4}{21}=0 \]
Mit der p-q-Formel erhalten wir: $x_{1/2}=-\frac{4}{2\cdot 21}\pm \sqrt{( -\frac{4}{2\cdot 21})^2}=-\frac{2}{21}\pm \frac{2}{21}$
D.h. wir haben Nullstellen bei $x_1 = 0$ und $x_2 = -\frac{4}{21}$. Nun setzen wir unsere gefundenen Nullstellen in die zweite Ableitung ein.

$f''(0)=42\cdot 0 +4= 4 > 0 \Rightarrow \text{ Minimum an }x_1=0$

$f''(-\frac{4}{21})= 42\cdot (-\frac{4}{21})+4=-8 < 0 \Rightarrow \text{ Maximum an }x_2=-\frac{4}{21}$

Zu beachten ist, dass die hier ausgerechneten Extremstellen lokale Extremstellen sind! Ob diese auch globale Extremstellen sind, d.h. die Funktion $f$ diese Werte im gesamten Wertebereich nicht über[unter]steigt, sehen wir im Abschnitt über das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Die Berechnung von Wendestellen folgt dem gleichen Schema: zuerst die Nullstellen der zweiten Ableitung ausrechnen.
\[ 42x+4=0 \Leftrightarrow 42x=-4 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{21} \]
Und dann in die dritte Ableitung einsetzen.
\[ f'''(-\frac{2}{21})=42 \Rightarrow \text{ Wendestelle an } x= -\frac{2}{21} \]

Verhalten im Unendlichen

Überlegen wir uns nun, was mit $f(x)$ passiert wenn wir $x$ sehr groß oder sehr klein werden lassen.

$x \rightarrow \infty $:

Die Frage ist, was mit den einzelnen Bestandteilen von $f(x)$ passiert:

$x\rightarrow \infty \Rightarrow 7x^3 \rightarrow \infty$

$x\rightarrow \infty \Rightarrow 2x^2 \rightarrow \infty$

$x\rightarrow \infty \Rightarrow 2 \rightarrow 2$

Woraus folgt, dass $f(x)\rightarrow \infty$, weil wir nur immer größer werdende Komponenten aufaddieren.

Analog:

$x \rightarrow -\infty $:

$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 7x^3 \rightarrow -\infty$

$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 2x^2 \rightarrow \infty$

$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 2 \rightarrow 2$

Das ist komisch! Wenn wir die $2$ mal ignorieren(bei sehr großen/kleinen Zahlen ändert $+ 2$ nicht viel),

dann betrachten wir also $7x^3+2x^2 = x^2\cdot (7x+2)$. Für kleine Zahlen wird die Klammer immer negativ sein (insbesondere $x\rightarrow -\infty \Rightarrow 7x+2 \rightarrow -\infty$). Das $x^2$ vor der Klammer wird immer größer für  $x\rightarrow -\infty$. Der Gesamtterm, geht also gegen $-\infty$. Warum? Erinnert euch an die alte Regel: Minus mal Plus gibt Minus ;)

Insbesondere folgt aus der Betrachtung, des Verhaltens der Funktion im Unendlichen, dass die oben ermittelten Extremstellen keine globalen Extremstellen sind.

Danke

Danke für's Lesen! Über Kommentare würde ich mich freuen!

Grüße