Ableitungsregeln Teil 1

Heute nähern wir uns einem essentiellen Thema für alle Schüler an:

Dem Berechnen von Ableitungen.

In diesem ersten Teil, soll es um die einfachsten Regeln gehen. Ich möchte Beispiele geben, weshalb ich auf eine großartige Einführung und Motivation mit geschichtlichem Abriss usw. verzichte, und mehr den "Anwendungsaspekt" in den Vordergrund rücke. Soll heißen, kurze Erklärung, dafür Beispiele. Ich gehe davon aus, dass die Ableitungen von essentiellen Funktionen bekannt sind. Falls hier Bedarf besteht, insbesondere mit Herleitungen, einfach in die Kommentare posten.

Auf geht's!
Im folgenden seien $f$ und $g$ [differenzierbare] Funktionen auf den reellen Zahlen.

Die Summenregel

Die Summenregel ist wohl die einfachste aller Ableitungsregeln:

\[ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \]

Man leitet die Summanden einfach einzeln ab.

Beispiele:

$(x^2+3x^3)'=2x+9x^2$

$(sin(x)+cos(x))'=cos(x)-sin(x)$

$(e^x+\sqrt{x})'=e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(x^n+ln(x))'=nx^{n-1}+\frac{1}{x}$

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})'=\frac{-1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$

Das Ganze ist sehr einfach, die Schwierigkeit hier besteht eher im Bestimmen der einzelnen Ableitungen selbst, als dem Anwenden der Regel. Viele Schüler haben Probleme mit dem Ableitungen von Funktionen der Art: $\frac{1}{x^n}$. Tipp: Erinnert euch an die Potenzregeln:

\[(\frac{1}{x^n})'=(x^{-n})'=(-n)x^{-n-1}\]

Die Produktregel

Die Produktregel sieht schon etwas komplexer aus:

\[(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

Sie sieht aber auch nur komplexer aus, man leitet einfach pro Summand eine der Funktionen ab und lässt die Andere stehen.

Beispiele:

$(x^2\cdot 3x^3)'=2x\cdot3x^3+x^2\cdot 9x^2=6x^4+9x^4=15x^4$

$(sin(x)\cdot cos(x))'=-sin(x)sin(x)+cos(x)cos(x)=cos^2(x)-sin^2(x)$

$(e^x\cdot \sqrt{x})'=e^x\cdot \sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$

$(x^n\cdot ln(x))'=nx^{n-1}\cdot ln(x)+\frac{1}{x}\cdot x^n=nx^{n-1}\cdot ln(x)+x^{n-1}$

$(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2})'=(\frac{1}{x^3})'=\frac{-3}{x^4}$

So das war's erstmal für Teil 1. In der Fortsetzung gibt es dann weitere Regeln. Ich empfehle die Beispiele in Ruhe durch zulesen und dann ohne auf die Lösung zu gucken, nachzurechnen.

Viel Erfolg!

Grüße