Mittwoch, 26. Juni 2013

Fallen bei der Termumformung

Hallo liebe Leser!

Heute soll es um ein (eigentlich) eher einfaches Thema gehen, bei dem einige Schüler immer wieder Probleme haben:

die Termumformung.

Anstatt hier alle Gesetze, welche man anwenden könnte aufzulisten, möchte ich auf ein par Fallen eingehen, die hier und da für Verwirrung sorgen. Auf geht's! Im Folgenden sei $x,y \in \mathbb{R}$.  

Beispiel 1:

 \[ x^2 = x \]

Hier sollte man nicht durch $x$ teilen, da wir $x=0$ nicht ausgeschlossen haben. Besser $-x$ rechnen:

\[ x^2 = x \Leftrightarrow x^2-x=0 \Leftrightarrow x(x-1)=0  \]

Also ist die Lösung $0$ oder $1$.

Beispiel 2:

Das Ausklammern wird in der Regel unterschätzt und/oder vergessen, dabei macht es Vieles einfacher:

\[ x^4-x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x^2-1) = 0 \]

Es muss nun $x^2=0$ oder $(x^2-1)=0$ gelten, damit die Gleichung stimmt.
Daher sind die Lösungen: $x=0$ oder $x=1$

Beispiel 3:

Brüche sind bei den meisten Schülern unbeliebt, warum eigentlich? ;)

\[ \frac{x^4-x^2}{x^2-1} = 0\]

Jetzt bitte nicht auf die Idee kommen $x^2$ kürzen zu wollen!
Auch wenn es etwas fies klingt, stimmt der alte Spruch "In Summen kürzen nur die Dummen".
Den Zähler des Bruches kennen wir bereits aus dem Beispiel 2.

\[ \frac{x^2(x^2-1)}{x^2-1}=0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0 \]

Man beachte, dass im Zähler nun ein Produkt steht, weshalb wir mit $x^2-1$ kürzen können.

Beispiel 4:

Potenzregeln sind eine feine Sache.

\[ \frac{(x^3x^4x^5)^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow \frac{(x^{3+4+5})^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow \frac{(x^{12})^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow
\frac{x^6}{x^4}=4 \Leftrightarrow
x^{6-4}=4 \Leftrightarrow
x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \]

Erläuterung:
Im ersten Schritt gehen wir getreu nach dem Motto vor:
"Potenzen multiplizieren, heißt Exponenten addieren", natürlich nur wenn alle die gleiche Basis haben. Danach haben wir im Zähler $x^{12}$ hoch $\frac{1}{6}$ stehen. Wir potenzieren also eine Potenz, d.h. wir multiplizieren die Exponenten. Dann heißt es kürzen und das Ergebnis steht schon da.

Beispiel 5:

 Etwas Ähnliches wie kürzen in Summen begegnet uns bei Wurzeln.
Während $\sqrt{x^2y^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=xy$ ist gilt dies nicht mehr, wenn unter der Wurzel eine Summe steht. Daher versucht man irgendwie ein Produkt unter die Wurzel zu bekommen:
\[ \sqrt{x^4-x^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2(x^2-1)} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}=0 \Leftrightarrow x\sqrt{x^2-1}=0 \]

Was ist jetzt die Lösung? $x=1$, weil für $x=1$ steht dort $1\cdot \sqrt{0} = 0$.
Aber was ist mit $x=0$ ? Das ist keine Lösung, weil die Gleichung für $x=0$ nicht definiert ist: $x=0 \Rightarrow 0\cdot \sqrt{0-1}$. Wurzeln aus negativen Zahlen sind (i.d.R.) in der Schule verboten.


So long,

quis

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