Mittwoch, 12. Juni 2013

einfache Kurvendiskussion

In meinem ersten Post soll es um ein Standardthema gehen, mit welchem viele Schüler Probleme haben:

Die Kurvendiskussion.

Also legen wir los.

Aufgabe:
Es sei $f(x)=7x^3+2x^2+2$. Machen Sie eine vollständige Kurvendiskussion.

Lösung:

Zur Kurvendiskussion zählen folgende Punkte(je nach Stand, auch weniger):


  • Definitions- und Wertebereich
  • Symmetrie (zum Koordinatenursprung)
  • Extrem- und Wendestellen
  • Verhalten im Unendlichen



Definitions- und Wertebereich

Der Definitionsbereich ist die Menge an reellen Zahlen, die wir in die Funktion (sinnvoll) einsetzen können.
In unserem Fall können wir alle reellen Zahlen einsetzen, und es kommt immer etwas Sinnvolles raus, d.h. eine reelle Zahl. Also ist der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$.

Anderes Beispiel: In die Funktion $g(x)=\frac{1}{x}$, kann z.B. die $0$ nicht eingesetzt werden, da man sonst durch diese teilen würde. In dem Fall wäre der Definitionbereich $\mathbb{R}-\{0\}$, d.h. alle reellen Zahlen ohne die Null.

Der Wertebereich der Funktion sind alle Zahlen, die die auswirft (auch $y$-Werte genannt). In unserem Fall wieder ganz $\mathbb{R}$.

Symmetrie

Es gibt hier zwei Arten von Symmetrie: die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie.

Achsensymmetrie
Für das Vorliegen von Achsensymmetrie muss folgende Bedingung erfüllt sein:
\[ f(-x)=f(x) \]
Testen wir also, was bei unserer Funktion passiert, wenn wir $-x$ einsetzen!
\[f(-x)=7(-x)^3+2(-x)^2+2=-7x^3+2x^2+2\neq f(x)\]
Sodaß wir hier keine Achsensymmetrie vorliegen haben.

Punktsymmetrie
Auch für das Vorliegen von Punktsymmetrie gibt es eine Bedingung:
\[f(-x)=-f(x)\]
$f(-x)$ haben wir weiter oben schon ausgerechnet, jetzt müssen wir nur wissen was $-f(x)$ ist:
\[-f(x)=-(7x^3+2x^2+2)=-7x^3-2x^2-2\neq f(-x) \]
Also haben wir auch keine Punktsymmetrie.

Extrem- und Wendestellen

Damit eine Extremstelle an $x$ vorliegt müssen folgende Bedingen erfüllt sein:
\[ f'(x)=0 \text{ und } f''(x)\neq 0 \]
Die so gefundene Extremstelle heißt Maximum, falls $f''(x)<0$ und Minimum, falls $f''(x)>0$.

An $x$ liegt eine Wendestelle vor, wenn gilt:
\[ f''(x)=0 \text{ und } f'''(x)\neq 0 \]

Auf geht's! Berechnen wir zuerst die Ableitungen:
\[ f'(x)=21x^2+4x \text{ ; } f''(x)=42x+4 \text{ ; } f'''(x)=42 \]
Für die Extremstellen brauchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung:
\[ 21x^2+4x=0 \Leftrightarrow x^2+\frac{4}{21}=0 \]
Mit der p-q-Formel erhalten wir: $x_{1/2}=-\frac{4}{2\cdot 21}\pm \sqrt{( -\frac{4}{2\cdot 21})^2}=-\frac{2}{21}\pm \frac{2}{21}$
D.h. wir haben Nullstellen bei $x_1 = 0$ und $x_2 = -\frac{4}{21}$. Nun setzen wir unsere gefundenen Nullstellen in die zweite Ableitung ein.
$f''(0)=42\cdot 0 +4= 4 > 0 \Rightarrow \text{ Minimum an }x_1=0$
$f''(-\frac{4}{21})= 42\cdot (-\frac{4}{21})+4=-8 < 0 \Rightarrow \text{ Maximum an }x_2=-\frac{4}{21}$

Zu beachten ist, dass die hier ausgerechneten Extremstellen lokale Extremstellen sind! Ob diese auch globale Extremstellen sind, d.h. die Funktion $f$ diese Werte im gesamten Wertebereich nicht über[unter]steigt, sehen wir im Abschnitt über das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Die Berechnung von Wendestellen folgt dem gleichen Schema: zuerst die Nullstellen der zweiten Ableitung ausrechnen.
\[ 42x+4=0 \Leftrightarrow 42x=-4 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{21} \]
Und dann in die dritte Ableitung einsetzen.
\[ f'''(-\frac{2}{21})=42 \Rightarrow \text{ Wendestelle an } x= -\frac{2}{21} \]

Verhalten im Unendlichen

Überlegen wir uns nun, was mit $f(x)$ passiert wenn wir $x$ sehr groß oder sehr klein werden lassen.

$x \rightarrow \infty $:
Die Frage ist, was mit den einzelnen Bestandteilen von $f(x)$ passiert:
$x\rightarrow \infty \Rightarrow 7x^3 \rightarrow \infty$
$x\rightarrow \infty \Rightarrow 2x^2 \rightarrow \infty$
$x\rightarrow \infty \Rightarrow 2 \rightarrow 2$
Woraus folgt, dass $f(x)\rightarrow \infty$, weil wir nur immer größer werdende Komponenten aufaddieren.

Analog:
$x \rightarrow -\infty $:
$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 7x^3 \rightarrow -\infty$
$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 2x^2 \rightarrow \infty$
$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 2 \rightarrow 2$
Das ist komisch! Wenn wir die $2$ mal ignorieren(bei sehr großen/kleinen Zahlen ändert $+ 2$ nicht viel),
dann betrachten wir also $7x^3+2x^2 = x^2\cdot (7x+2)$. Für kleine Zahlen wird die Klammer immer negativ sein (insbesondere $x\rightarrow -\infty \Rightarrow 7x+2 \rightarrow -\infty$). Das $x^2$ vor der Klammer wird immer größer für  $x\rightarrow -\infty$. Der Gesamtterm, geht also gegen $-\infty$. Warum? Erinnert euch an die alte Regel: Minus mal Plus gibt Minus ;)

Insbesondere folgt aus der Betrachtung, des Verhaltens der Funktion im Unendlichen, dass die oben ermittelten Extremstellen keine globalen Extremstellen sind.

Danke

Danke für's Lesen! Über Kommentare würde ich mich freuen!

Grüße

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